Рекомендуется для направления (ий) подготовки (специальности (ей)) 080100

алгебра матриц реферат

Рекомендуется для направления (ий) подготовки (специальности (ей))

Квалификации (степени) выпускника Бакалавр

1. Цели и задачи дисциплины:

Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем аналитической геометрии и линейной алгебры, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.

Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, насыщенных векторными, матричными и операторными обозначениями;

Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в линейной алгебре конструкции;

Научить слушателей давать геометрическую интерпретацию многомерным объектам и строить аналитическое описание геометрическим соотношениям.

Продемонстрировать возможность бескоординатного описания линейных и квадратичных функций, подготавливая переход к изучению функционального анализа;

Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования;

Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений

2. Место дисциплины в структуре ООП:

учебная дисциплина «Линейная алгебра» входит в цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин;

требования к входным знаниям и умениям студентов — не требуется какой бы то ни было предварительной математической подготовки сверх обычной программы средней школы.

данная дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: Эконометрика, Математический анализ, Микроэкономика, Макроэкономика, Дифференциальные и разностные уравнения, Дискретные математические модели, Методы оптимальных решений.

точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на простых модельных примерах; в том числе, свободно использовать координатный, векторный, матричный или операторный способ записи математических соотношений;

общие теоремы о структуре множества решений систем линейных, уметь применять специальные методы построения таких решений;

свойства основных числовых характеристик матриц: определитель, ранг, размерность пространства строк и столбцов;

формулировать и доказывать основные результаты этих разделов; представлять математические утверждения и их доказательства, проблемы и их решения ясно и точно в терминах, понятных для профессиональной аудитории, как в письменной, так и устной формах.

понимать разделы учебной и научной литературы, связанные с применением линейных пространств, линейных отображений, линейных, билинейных и квадратичных форм

Владеть: навыками решения типовых задач с применением изучаемого теоретического материала; решения математические задач, аналогичные ранее изученным;

Вид учебной работы

Всего часов / зачетных единиц

Аудиторные занятия (всего)

Практические занятия (ПЗ)

Лабораторные работы (ЛР)

Самостоятельная работа (всего)

Курсовой проект (работа)

Другие виды самостоятельной работы

Выполнение домашнего задания

Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)

Общая трудоемкость часы

5. Содержание дисциплины

Преобразования матриц и системы линейных уравнений

Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования матриц. Обратимость элементарных преобразований. Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений со ступенчатой матрицей системы. Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух или трех неизвестных. Ненулевые решения однородной системы уравнений.

Литература: [1], глава 1.

Определитель и элементарные преобразования. Построение определителя раз­ложением по столбцу. Определитель транспонированной матрицы. Вычисление опре­делителя разложением по строке.

Простейшие следствия аксиом линейного пространства. Подпространство ли­нейного пространства. Простейшие свойства линейно зависимых векторов. Базис и ко­ординаты векторов. Существование базиса конечномерного пространства. Размерность линейного пространства.

Сумма матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц. Матрич­ная запись системы уравнений. Свойства арифметических операций над матрицами. Обратная матрица и формулы Крамера. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями. Преобразование координат при замене базиса.

Литература: [1], глава 4.

Ранг матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Ранг произведения матриц. Определитель произведения матриц.

Литература: [1], глава 5.

Структура множества решений системы линейных уравнений

Векторная запись системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Структура множества решений системы линейных уравнений. Теорема о выборе главных и свободных неизвестных.

Литература: [1], глава 6.

Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен линейного оператора. О корнях характеристического многочлена линейного оператора. Свойства собственных векторов с одинаковыми и различными собственными

Литература: [1], глава 7.

Линейные, билинейные и квадратичные формы

Формула линейного функционала. Матрица билинейной формы. Матрица симметричной билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. Единственность симметричной билинейной формы, порождающей квадратичную форму. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции для квадратичных форм.

Элементы аналитической геометрии

Прямоугольная система координат на плоскости. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Векторы. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов. Общее уравнение прямой на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Преобразование координат точки при замене системы координат. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Общее уравнение плоскости. Условие параллель­ности и пер­пендикулярности плоскостей. Уравнение прямой в пространстве. Взаимное располо­жение прямой и плоскости, двух прямых.

Литература: [1], глава 9.

Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность векторов. Независимость попарно ортогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Построение ортонормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса. Матрица скалярного произведения в ортонормированном базисе. Ортогональные матрицы. Геометрическая интерпретация ортогональных матриц.

Литература: [1], глава 10.

Сопряженность операторов в евклидовом пространстве. Матрицы сопряженных операторов. Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операторов. Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Литература: [1], глава 11.

Литература: [1], глава 12.

5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми

Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин

№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин

Дифференциальные и разностные уравнения

Дискретные математические модели

Методы оптимальных решений

Наименование раздела дисциплины

Преобразования матриц и системы линейных урав­не­ний.

Структура множества реше­ний системы линейных урав­нений.

Линейные, билинейные и квадратичные формы.

Элементы аналитической геометрии.

Наименование лабораторных работ

8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра, дифференциальное исчисление функций одной переменной : учебник для студ. высш. учеб. заведений М.: Издательский центр «Академия», 2010. (Университетский учебник. Высшая математика и ее приложения к экономике).

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры – М.: Наука, любое издание.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, любое издание.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, любое издание.

Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы математического анализа (под редакцией А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича) – М.: Наука, любое издание после1981.

Шевцов Г.С. Линейная алгебра. Учебное пособие. – М.: Гардарики, 1999.

б) дополнительная литература

Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми све­дениями из алгебры. – М.: Наука, 1968.

Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998.

Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1983.

Скорняков Л.А. Элементы линейной алгебры. Учебное пособие. – М.: Наука, 1980.

10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в виде контрольных работ и домашних заданий, количество которых зависит от форм контроля по другим учебным дисциплинам.

Итоговый контроль осуществляется в виде письменного экзамена. Полный ответ на каждый из десяти вопросов экзамена приносит одно очко. В случае неполного решения оценка ответа на вопрос может принимать значения между нулем и единицей. Например, арифметическая ошибка, не изменившая верного плана решения задачи, приводит к штрафу 0,1. Отсутствие примеров при ответе на вопрос теории приводит к штрафу 0,2. Приступая к проверке, преподаватели согласовывают оценки и для многих других типичных погрешностей.

В зависимости от набранной суммы очков определяется оценка за экзамен по десятибалльной системе. Пороговые значения следующие

Оценка по 10-балльной системе

Тематика контрольных и домашних работ

Контрольная работа № 1 предназначена для проверки качества освоения студентами следующих компонентов курса:

Определения основных понятий

Преобразования матриц и системы линейных уравнений

Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений.

Элементар­ные преобразования матриц.

Общее ре­шение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные.

Подпространство линейного пространства.

Линейная оболочка системы векторов.

Линейно зависимые и независимые системы векторов.

Базис и координаты векторов.

Размерность линейного пространства.

Арифметические операции над матрицами

Умножение матрицы на число.

Фундаментальная система решений.

Методы решения некоторых классов задач линейной алгебры

Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Определитель и элементарные преобразования.

Вычисление определителя разложением по строке или по столбцу

Построение обратной матрицы при помощи алгебраических дополнений.

Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями.

Вычисление координат векторов.

Построение базиса линейного пространства.

Вычисление размерности пространства.

Преобразование координат при замене базиса.

Вычисление ранга при помощи элементарных преобразованиях. Ранг ступенчатой матрицы.

Критерий линейной независимости системы строк (столбцов).

Исследование совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).

Построение фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений.

Построение множества решений системы линейных уравнений.

Выбор главных и свободных неизвестных.

Определения основных понятий

Преобразования матриц и системы линейных уравнений

Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений.

Элементарные преобразования матриц. .

Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные.

Подпространство линейного пространства.

Линейная оболочка системы векторов.

Линейно зависимые и независимые системы векторов.

Базис и координаты векторов.

Размерность линейного пространства.

Арифметические операции над матрицами

Умножение матрицы на число.

Фундаментальная система решений.

Методы решения некоторых классов задач линейной алгебры

Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Определитель и элементарные преобразования.

Вычисление определителя разложением по строке или по столбцу

Построение обратной матрицы при помощи алгебраических дополнений.

Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями.

Вычисление координат векторов.

Построение базиса линейного пространства.

Преобразование координат при замене базиса.

Вычисление ранга при помощи элементарных пре­образованиях. Ранг ступенчатой матрицы.

Критерий линейной независимости системы строк (столбцов).

Построение фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений.

Построение множества решений системы линейных уравнений.

Выбор главных и свободных неизвестных.

Домашнее задание №2 предназначено для освоения студентами следующих компонентов курса:

Определения основных понятий

Матрица линейного оператора.

Преобразование матрицы линейного оператора при за­мене базиса.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Линейные, билинейные и квадратичные формы

Формула линейного функционала.

Матрица билинейной формы.

Матрица скалярного произве­дения

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса.

Матрица квадратичной формы.

Положительная определенность квадратичной формы.

Канонический вид квадра­тичной формы.

Прямоугольная система координат на плоскости.

Деление отрезка в данном отношении.

Умножение вектора на число.

Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Скалярное произведение векторов.

Векторное произведение векторов.

Смешанное произведение векторов.

Общее уравнение плоскости.

Параметрическое и каноническое уравнения прямой в пространстве.

Длина вектора и угол между векторами.

Ортогональная проекция вектора на подпространство.

Методы решения некоторых классов задач линейной алгебры

Построение матрицы линейного оператора.

Преобразование матрицы линейного оператора при за­мене базиса.

Построение собственных векторов и собственных значений линейного оператора.

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса.

Проверка положительной определенности квадратичной формы.

Приведение квадра­тичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Построение ортонор­мированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора.

Построение координат вектора по координатам его крайних точек.

Построение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора на подпространство.

Построение орто­нормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса.

Вычисление площади треугольника и объема треугольной пирамиды при помощи векторного и смешанного произведения векторов.

Построение параметрического уравнения прямой в пространстве: по двум точкам и перпендикулярно данной плоскости через заданную точку..

Исследование взаимного положения прямой и плоскости.

Вычисление угла между векторами, угла между вектором и плоскостью, угла между плоскостями.

Построение уравнения плоскости по координатам трех ее точек.

Применение операций над векторами для вычисления координат точек: симметричных данной относительно заданной плоскости, симметричных данной относительно заданной прямой и некоторых других.

Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи (более двухсот задач по всем разделам курса), приведенных в учебнике [1] в конце каждой главы.

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)

___________________ _________________ _____________________

_____ВЦ РАН_____ ___ профессор ___ ___А.В. Лотов_____

Комментариев нет

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

27 + = 34

Алгебра
Вычислить определитель квадратной матрицы

вычислить определитель квадратной матрицы

Алгебра
Рекурсивное вычисление определителя

вычислить определитель квадратной матрицы

Алгебра
Особенности вычисления определителя матрицы

вычислить определитель квадратной матрицы