Реферат Алгебра матриц

Реферат Алгебра матриц

Определение. Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами, называется – матрицей.

Мы будем рассматривать числовые матрицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для обозначения матрицы, как правило, используются круглые скобки. При записи, в общем виде элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает номер строки, а второй – номер столбца матрицы. Например, матрица

В сокращенной записи: А=(а ij ); где а ij - действительные числа, i =1,2,… m ;

j =1,2,…, n (кратко , . ). Произведение называют размером матрицы.

Матрица называется квадратной порядка n , если число ее строк равно числу столбцов и равно n :

Упорядоченный набор элементов а 1122 ,…,а nn называется главной диагональю, в свою очередь, а 1 n2, n -1 ,…,а n 1 – побочной диагональю матрицы. Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию:

называется диагональной, т.е. диагональная матрица имеет вид:

Диагональная матрица порядка n называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О. Матрицы имеют вид:

Линейные операции над матрицами

Определение. Суммой матриц А=(а ij ) и B =( b ij ) одинаковых размеров называется матрица С=(с ij ) тех же размеров, такая что c ij = a ij + b ij для всех i и j .

Таким образом, чтобы сложить матрицы А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

Определение. Произведение матрицы А на число l называется матрица l А=( l а ij ), получаемая умножением всех элементов матрицы А на число l .

Например, если и l =5, то

Разность матриц А и В можно определить равенством А-В=А+(-1)В.

Рассмотренные операции называются линейными.

Отметим некоторые свойства операций.

Пусть А,В,С – матрицы одинакового размера; a , b - действительные числа.

А+В = В+А – коммутативность сложения.

(А+В)+С = А+(В+С) – ассоциативность сложения.

Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля: А+О=А.

Для любой матицы А существует противоположная –А, элементы которой отличаются от элементов А знаком, при этом А+( -А)=О.

a ( b А) = ( ab )А = ( a А) b . 6. ( a + b )А = a А+ b А.

7. a (А+В) = a А+ a В. 8. 1* А = А. 9. 0 * А = 0.

В матричной алгебре важную роль играет операция умножения матриц, это весьма своеобразная операция.

Определение. Произведением матрицы А=(а ij ) размера и прямоугольной матрицы B =( b ij ) размера называется прямоугольная матрица С=(с ij ) размера , такая что c ij = a i 1 + b 1 j + a i 2 + b 2 j +…+ a ik + b kj ; , .

Таким образом, элемент произведения матриц А и В, стоящий в i -ой строке и j -ом столбце, равен сумме произведений элементов i -ой строки первой матрицы А на соответствующие элементы j -ого столбца второй матрицы В т.е.

Произведение С=АВ определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Это условие, а также размеры матриц можно представить схемой:

Очевидно, что операция умножения квадратных матриц всегда определена.

Примеры. Найдем произведения матриц АВ и ВА, если они существуют.

Таким образом, коммутативный (переместительный) закон умножения матриц, вообще говоря, не выполняется, т.е. В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А n -го порядка на единичную матрицу Е такого же порядка, т.е.

Для этих матриц произведение как АВ ,так и ВА не существует.

Получим , ВА – не существует.

Свойства умножения матриц.

Пусть А,В,С – матрицы соответствующих размеров (т.е. произведения матриц определены), l - действительное число. Тогда на основании определений операций и свойств действительных чисел имеют место следующие свойства:

(АВ)С = А(ВС) – ассоциативность.

(А+В)С = АС+ВС – дистрибутивность.

А(В+С) = АВ+АС – дистрибутивность.

l (АВ) = ( l А)В = А( l В).

ЕА = АЕ = А, для квадратных матриц единичная матрица Е играет роль единицы.

Приведем пример доказательства лишь одного свойства. Докажем, например, свойство 3.

Пусть для А=(а ij ), B=( b ij ), C=(c ij ) произведения матриц определены. Найдем элемент i -ой строки и j -го столбца матрицы А(В+С). Это будет число

Первая сумма в правой части равенства равна элементу из i -ой строки и j -го столбца матрицы АВ, а вторая сумма равна элементу из i -ой строки и j -го столбца матрицы АС. Рассуждение верно при любых i и j , то свойство 3 доказано.

Упражнение 1. Проверьте свойство ассоциативности 1 для матриц:

Упражнение 2. Проверьте свойство дистрибутивности 2 для матриц:

Упражнение 3. Найти матрицу А 3 , если .

Вырожденные и невырожденные матрицы

Определение. Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

Пример. , = 16-15 = 1 0; А – невырожденная матрица.

, = 12-12 = 0; А – вырожденная матрица.

Теорема. Произведение матриц есть вырожденная матрица тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей есть вырожденная матрица.

Необходимость. Пусть АВ – вырожденная матрица, т.е. =0. Тогда, в силу того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц, имеем Это значит, что хотя бы одна из матриц А или В является вырожденной.

Достаточность. Пусть в произведении АВ матрица А вырожденная, т.е. =0. Найдем , т.к. =0; итак, =0; АВ - вырожденная матрица.

Замечание. Доказанная теорема справедлива для любого числа множителей.

Определение. Квадратная матрица В называется обратной по отношению к матрице А такого же размера, если

В – матрица обратная к А.

Теорема. Если для данной матрицы обратная существует, то она определяется однозначно.

Предположим, что для матрицы А существуют матрицы Х и У, такие, что

Умножая одно из равенств, например, АХ = Е слева на У, получим У(АХ) = УЕ. В силу ассоциативности умножения имеем (УА)Х = УЕ. Поскольку УА = Е, то ЕХ = УЕ, т.е. Х = У. Теорема доказана.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).

Обратная матрица А -1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.

Необходимость. Пусть для матрицы А существует обратная А -1 , т.е. А А -1 = А -1 А = Е. Тогда, ½ А А -1 ½ = ½ А ½ ½ А -1 ½ = ½ Е ½ =1, т.е. ½ А ½ 0 и ½ А -1 ½ 0; А – невырожденная.

Достаточность. Пусть дана невырожденная матрица порядка n

так что ее определитель 0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:

ее называют присоединенной к матрице А.

Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i -ой строки матрицы А стоят в i -ом столбце матрицы А * , для .

Найдем произведения матриц АА * и А * А. Обозначим АА * через С, тогда по определению произведения матриц имеем: С ij = а i 1 А 1 j + а i 2 А 2 j + … + а in А nj ; i = 1, n : j = 1, n .

При i = j получим сумму произведений элементов i - ой строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом С ij = |А| = D - это элементы главной диагонали матрицы С. При i j , т.е. для элементов С ij вне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак, = АА *

Аналогично доказывается, что произведение А на А * равно той же матрице С. Таким образом, имеем А * А = АА * = С. Отсюда следует, что

Поэтому, если в качестве обратной матрицы взять , то Итак, обратная матрица существует и имеет вид:

Пример. Найдем матрицу, обратную к данной:

Находим D = |А| = -1 ¹ 0, А существует. Далее находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Комментариев нет

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

7 + 2 =

Алгебра
Вычислить определитель квадратной матрицы

вычислить определитель квадратной матрицы

Алгебра
Рекурсивное вычисление определителя

вычислить определитель квадратной матрицы

Алгебра
Особенности вычисления определителя матрицы

вычислить определитель квадратной матрицы